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本文内容

本文基于李宏毅老师对 Self-Attention 的讲解，进行理解和补充，并结合Pytorch代码，最终目的是使得自己和各位读者更好的理解Self-Attention

李宏毅Self-Attention链接: https://www.youtube.com/watch?v=hYdO9CscNes PPT链接见视频下方

通过本文的阅读，你可以获得以下知识：

1. 什么是Self-Attention，为什么要用Self-Attention
2. Self-Attention是如何做的
3. Self-Attention是如何设计的
4. Self-Attention公式的细节
5. MultiHead Attention
6. Masked Attention

一、Self-Attention

1.1. 为什么要使用Self-Attention

假设现在一有个词性标注(POS Tags)的任务，例如：输入I saw a saw（我看到了一个锯子）这句话，目标是将每个单词的词性标注出来，最终输出为N, V, DET, N(名词、动词、定冠词、名词)。

这句话中，第一个saw为动词，第二个saw(锯子)为名词。如果想做到这一点，就需要保证机器在看到一个向量(单词)时，要同时考虑其上下文，并且，要能判断出上下文中每一个元素应该考虑多少。例如，对于第一个saw，要更多的关注I，而第二个saw，就应该多关注a。

这个时候，就要Attention机制来提取这种关系：如果一个任务的输入是一个Sequence（一排向量），而且各向量之间有一定关系，那么就要利用Attention机制来提取这种关系。

1.2. 直观的感受下Self-Attention

该图描述了Self-Attention的使用。Self-Attention接受一个Sequence（一排向量，可以是输入，也可以是前面隐层的输出），然后Self-Attention输出一个长度相同的Sequence，该Sequence的每个向量都充分考虑了上下文。 举个例子，输入是I、saw、a、saw，对应向量为：

$$ \begin{aligned} \text{I} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix},~~\text{saw} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix},~~\text{a} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix},~~\text{saw} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \end{aligned} $$

在经过Self-Attention层之后，可能就变成了这样：

$$ \begin{aligned} \text{I}' = \begin{bmatrix} 0.7 \\ 0.28 \\ 0.02 \\ \end{bmatrix},~~\text{saw}' = \begin{bmatrix} 0.34 \\ 0.65 \\ 0.01 \\ \end{bmatrix},~~\text{a}' = \begin{bmatrix} 0.2 \\ 0.2 \\ 0.6 \\ \end{bmatrix},~~\text{saw}' = \begin{bmatrix} 0.01 \\ 0.5 \\ 0.49 \\ \end{bmatrix} \end{aligned} $$

对于第一个saw，它除了自身外，还要考虑 $0.34$个I；对于第二个saw，它要考虑$0.49$个a。

1.3. Self-Attenion是如何考虑上下文的

如图所示，每个输入都会和其他输入计算一个相关性分数，然后基于该分数，输出包含上下文信息的新向量。

对于上图，$a^1$需要与 $a^1,a^2,a^3,a^4$ 分别计算相关性分数 $\alpha_{1,1}, \alpha_{1,2}, \alpha_{1,3}, \alpha_{1,4}$（需要和自己也计算一下）, $\alpha$ 的分数越高，表示两个向量的相关度越高。

计算好 $\alpha_{1,*}$ 后，就可以求出新的包含上下文信息的向量 $b^1$，假设 $\alpha_{1,1}=5, \alpha_{1,2}=2, \alpha_{1,3}=1, \alpha_{1,4}=2$，则：

$$ \begin{aligned} b_1 = \sum_{i}\alpha_{1,i} \cdot a^i = 5 \cdot a^1 + 2 \cdot a^2 + 1 \cdot a^3 + 2 \cdot a^4 \end{aligned} $$

同理，对于 $b_2$，首先计算权重 $\alpha_{2,1}, \alpha_{2,2}, \alpha_{2,3}, \alpha_{2,4}$ , 然后进行加权求和

如果按照上面这个式子做，还有两个问题：

1. $\alpha$ 之和不为1，这样会将输入向量放大或缩小
2. 直接用输入向量$a^i$去乘的话，拟合能力不够好

对于问题1，通常的做法是将 $\alpha$ 过一个Softmax（当然也可以选择其他的方式）

对于问题2，通常是将 $a^i$ 乘个矩阵（该矩阵是训练出来的），然后生成 $v^i$ ，然后用 $v^i$ 去乘 $\alpha$

1.4. 如何计算相关性分数 $\alpha$

首先，复习下向量相乘。两个向量相乘（做内积），公式为：$a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ ， 通过公式可以很容易得出结论：

• 两个向量夹角越小（越接近），其内积越大，相关性越高。反之，两个向量夹角越大，相关性越差，如果夹角为90°，两向量垂直，内积为0，无相关性

通过上面的结论，很容易想到，要计算 $a^1$ 和 $a^2$ 的相关性，直接做内积即可，即 $\alpha_{1,2} = a_1 \cdot a_2$ 。 但如果直接这样，显然不好，例如，句子I saw a saw的saw和saw相关性一定很高(两个一样的向量夹角为0)，这样不就错了嘛。

为了解决上面这个问题，Self-Attention又额外“训练”了两个矩阵 $W^q$ 和 $W^k$

• $W^q$ 负责对“主角”进行线性变化，将其变换为 $q$，称为query，
• $W^k$ 负责对“配角”进行线性变化，将其变换为 $k$，称为key

有了$W^q和W^k$，我们就可以计算 $a^1$ 和 $a^2$ 的相关分数 $\alpha_{1,2}$了，即：

$$ \begin{aligned} \alpha_{1,2} = q^1 \cdot k^2 = (W^q \cdot a^1 )\cdot (W^k \cdot a^2) \end{aligned} $$

上面这些内容可以汇总成如下图：

要计算 $a^1$（主角）与 $a^1, a^2, a^3, a^4$（配角）的相关度，需要经历如下几步：

1. 通过 $W^q$ ，计算 $q^1$
2. 通过 $W^k$，计算 $k^1, k^2, k^3, k^4$
3. 通过 $q$ 和 $k$ ， 计算 $\alpha_{1,1}, \alpha_{1,2}, \alpha_{1,3}, \alpha_{1,4}$

上图并没有把 $k^1$ 画出来，但实际计算的时候，需要计算 $k_1$，即需要计算 $a^1$和其自身的相关分数。

1.5. 将 $\alpha$ 归一化

还记得上面提到的，$\alpha$之和不为1，所以，在上面得到了 $\alpha_{1, *}$ 后，还需要过一下Softmax，将$\alpha_{1, *}$进行归一化。如下图：

最终，会将归一化后的 $\alpha'_{1, *}$ 作为 $a^1$ 与其它向量的相关分数。 同理，$a^2, a^3, ...$ 向量与其他向量的相关分数也这么求。

不一定非要用Softmax，你开心想用什么都行，说不定效果还不错，也不一定非要归一化。 只是通常是这么做的

1.6. 整合上述内容

求出了相关分数 $\alpha '$，就可以进行加权求和计算出包含上下文信息的向量 $b$ 了。还记得上面提到过，如果直接用 $a$ 与 $\alpha '$ 进行加权求和，泛化性不够好，所以需要对 $a$ 进行线性变换，得到向量 $v$，所以Self-Attention还需要训练一个矩阵 $W^v$ 用于对 $a$ 进行线性变化，即：

$$ \begin{aligned} v^1 = W^v \cdot a^1 ~~~~~~~~v^2 = W^v \cdot a^2~~~~~~~~~v^3 = W^v \cdot a^3~~~~~~~~~~~v^4 = W^v \cdot a^4 \end{aligned} $$

然后就可用 $v$ 与 $\alpha '$ 进行加权求和，得到 $b$ 了。

$$ \begin{aligned} b^1 = \sum_i \alpha'_{1,i} \cdot v^i = \alpha'_{1,1} \cdot v^1 + \alpha'_{1,2} \cdot v^2 + \alpha'_{1,3} \cdot v^3 + \alpha'_{1,4} \cdot v^4 \end{aligned} $$

将求 $b^1$ 的整个过程可以归纳为下图：

用更正式的话描述一下整个过程：

有一组输入序列 $I = (a^1, a^2, \cdots, a^n)$，其中 $a^i$ 为向量， 将序列 $I$ 通过Self-Attention，可以将其转化为另外一个序列 $O = (b^1, b^2, \cdots, b^n)$，其中向量 $b^i$ 是由向量 $a^i$ 结合其上下文得出的，$b^i$ 的求解过程如下：

1. 求出查询向量 $q^i$， 公式为 $q^i = W^q \cdot a^i$
2. 求出 $k^1,k^2, \cdots, k^n$，公式为 $k^j = W^k \cdot a^j$
3. 求出 $\alpha_{i,1}, \alpha_{i,2}, \cdots, \alpha_{i,n}$ ， 公式为 $\alpha_{i,j}=q^i\cdot k^j$
4. 将 $\alpha_{i,1}, \alpha_{i,2}, \cdots, \alpha_{i,n}$ 进行归一化得到 $\alpha'_{i,1}, \alpha'_{i,2}, \cdots, \alpha'_{i,n}$，公式为 $\alpha'_{i,j} = \text{Softmax}(\alpha_{i,j};\alpha_{i,*}) = \exp(\alpha_{i,j})/\sum_t \exp(\alpha_{i,t})$
5. 求出向量$v^1, v^2, \cdots, v^n$， 公式为： $v^j=W^v \cdot a^j$
6. 求出 $b^i$， 公式为 $b^i = \sum_j \alpha'_{i,j} \cdot v^j$

其中，$W^q, W^k, W^v$ 都是训练出来的

---

到这里Self-Attention的面纱已经揭开，但还没有结束，因为上面的步骤如果写成代码，需要大量的for循环，显然效率太低，所以需要进行向量化，能合并成向量的合成向量，能合并成矩阵的合成矩阵。

1.7. 向量化

向量$a$ 的矩阵化，假设列向量 $a^i$ 维度为 $d$，显然可以将输入转化为矩阵 $I$，公式为：

$$ \begin{aligned} I_{d\times n} = (a^1, a^2, \cdots, a^n) \end{aligned} $$

接下来定义 $W^q, W^k, W^v$ 矩阵，其中$W^q$和$W^k$的矩阵维度必须一致，为$d_k\times d$，而$W^v$的矩阵维度为$d_v\times d$，其中 $d_k $和 $d_v$ 都是需要调的超参数（一般与词向量的维度 $d$ 保持一致）。$d_k$ 只影响过程，但 $d_v$ 会影响结果，即 $d_v$ 是Attention的输出向量 $b$ 的维度。 定义好 $W^q$ 的维度后，就可以将 $q$ 矩阵化了，

向量 $q$ 的矩阵化，公式为：

$$ \begin{aligned} Q_{d_k\times n} = (q^1, q^2, \cdots, q^n) = W^q_{d_k\times d} \cdot I_{d\times n} \end{aligned} $$

同理，向量k的矩阵化，公式为：

$$ \begin{aligned} K_{d_k\times n} = (k^1, k^2, \cdots, k^n) = W^k \cdot I \end{aligned} $$

同理，向量v的矩阵化，公式为：

$$ \begin{aligned} V_{d_v\times n} = (v^1, v^2, \cdots, v^n) = W^v \cdot I \end{aligned} $$

得到了矩阵$Q$和$K$，那么就很容易得出相关分数 $\alpha$ 的矩阵了，

相关分数 $\alpha$ 的矩阵为：

$$ \begin{aligned} A_{n\times n} = \begin{bmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{2,1} & \cdots &\alpha_{n,1} \\ \alpha_{1,2} & \alpha_{2,2} & \cdots &\alpha_{n,2} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ \alpha_{1,n} & \alpha_{2,n} & \cdots &\alpha_{n,n} \\ \end{bmatrix} = K^T \cdot Q =\begin{bmatrix} {k^1}^T \\ {k^2}^T \\ \vdots \\ {k^n}^T \end{bmatrix} \cdot (q^1, q^2, \cdots, q^n) \end{aligned} $$

我的定义 $k^i$ 是列向量，所以要转置一下

进一步，$\alpha '$ 的矩阵为：

$$ \begin{aligned} A'_{n\times n} = \textbf{softmax}(A) = \begin{bmatrix} \alpha'_{1,1} & \alpha'_{2,1} & \cdots &\alpha'_{n,1} \\ \alpha'_{1,2} & \alpha'_{2,2} & \cdots &\alpha'_{n,2} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ \alpha'_{1,n} & \alpha'_{2,n} & \cdots &\alpha'_{n,n} \\ \end{bmatrix} \end{aligned} $$

$A'$ 有了，$V$ 有了，那就可以对输出向量 $b$ 进行矩阵化了，

输出向量b的矩阵化，公式为：

$$ \begin{aligned} O_{d_v\times n} = (b^1, b^2, \cdots, b^n) = V_{d_v\times n} \cdot A'_{n\times n} = (v^1, v^2, \cdots, v^n) \cdot \begin{bmatrix} \alpha'_{1,1} & \alpha'_{2,1} & \cdots &\alpha'_{n,1} \\ \alpha'_{1,2} & \alpha'_{2,2} & \cdots &\alpha'_{n,2} \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ \alpha'_{1,n} & \alpha'_{2,n} & \cdots &\alpha'_{n,n} \\ \end{bmatrix} \end{aligned} $$

将上面全部整合起来，就可以的到，整合后的公式为

$$ \begin{aligned} O = \textbf{Attention}(Q, K, V) = V\cdot \textbf{softmax}(K^T Q) \end{aligned} $$

如果你看过其他文章，你应该会看到真正的最终公式如下：

$$ \begin{aligned} \text { Attention }(Q, K, V)=\operatorname{softmax}\left(\frac{Q K^{T}}{\sqrt{d_{k}}}\right) V \end{aligned} $$

其实我们的公式和这个公式只差了一个转置和 $\sqrt{d_k}$ 。转置不比多说，就是表示方式不同。

原公式的$Q,K,V$以及输出$O$，对应我们公式的 $Q^T,K^T,V^T$和 $O^T$

1.8. $d_k$是什么，为什么要除以 $\sqrt{d_k}$

首先，$d_k$是Q和K矩阵的行维度，也就是上面的 $Q_{d_k\times d}$中的 $d_k$ 。而矩阵相乘会放大原有矩阵的标准差，放大的倍数约为$\sqrt{d_k}$，为了将标准差缩放回原来的大小，所以要除以 $\sqrt{d_k}$。

例如，假设 $Q_{n \times d_k}$ 和 $K_{n\times d_k}$ 的均值为0，标准差为1。则矩阵 $QK^T$ 的均值为0，标准差为 $\sqrt{d_k}$，矩阵相乘使得其标准差放大了 $\sqrt{d_k}$倍

矩阵的均值就是把所有的元素加起来除以元素数量，方差同理。

可以通过以下代码验证这个结论（数学不好，只能通过实验验证结论了，哭）：

```python
Q = np.random.normal(size=(123, 456)) # 生成均值为0，标准差为1的 Q和K
K = np.random.normal(size=(123, 456))
print("Q.std=%s, K.std=%s, \nQ·K^T.std=%s, Q·K^T/√d.std=%s" 
      % (Q.std(), K.std(), 
         Q.dot(K.T).std(), Q.dot(K.T).std() / np.sqrt(456)))
```

Q.std=0.9977961671085275, K.std=1.0000574599289282,
Q·K^T.std=21.240017020263437, Q·K^T/√d.std=0.9946549289466212

通过输出可以看到，Q和K的标准差都为1，但是两矩阵相乘后，标准差却变为了 21.24, 通过除以 $\sqrt{d_k}$，标准差又重新变为了 1

再看另一个例子，该例子Q和K的标准差是随机的，更符合真实的情况：

```python
Q = np.random.normal(loc=1.56, scale=0.36, size=(123, 456)) # 生成均值为随机，标准差为随机的 Q和K
K = np.random.normal(loc=-0.34, scale=1.2, size=(123, 456))
print("Q.std=%s, K.std=%s, \nQ·K^T.std=%s, Q·K^T/√d.std=%s" 
      % (Q.std(), K.std(), 
         Q.dot(K.T).std(), Q.dot(K.T).std() / np.sqrt(456)))
```

Q.std=0.357460640868945, K.std=1.204536717914841, 
Q·K^T.std=37.78368871510589, Q·K^T/√d.std=1.769383337989377

可以看到，最开始Q的标准差为 $0.35$, K的标准差为 $1.20$，结果矩阵相乘后标准差达到了 $37.78$， 经过缩放后，标准差又回到了$1.76$。

1.9. 代码实战：Pytorch定义SelfAttention模型

接下来使用Pytorch来定义SelfAttention模型，这里使用原论文中的公式：

$$ \begin{aligned} \text { Attention }(Q, K, V)=\operatorname{softmax}\left(\frac{Q K^{T}}{\sqrt{d_{k}}}\right) V \end{aligned} $$

这里为了使代码定义逻辑更清晰，下面我将各个部分的维度标记出来：

$$ \begin{aligned} O_{n\times d_v} = \text { Attention }(Q_{n\times d_k}, K_{n\times d_k}, V_{n\times d_v})&=\operatorname{softmax}\left(\frac{Q_{n\times d_k} K^{T}_{d_k\times n}}{\sqrt{d_k}}\right) V_{n\times d_v} \\\\ & = A'_{n\times n} V_{n\times d_v} \end{aligned} $$

其中，各个变量定义为：

• $n$：input_num，输入向量的数量，例如，你一句话包含20个单词，则该值为20
• $d_k$：dimension of K，Q和K矩阵的行维度（超参数，需要自己调，一般和输入向量维度 $d$ 一致即可），该值决定了线性层的宽度。
• $d_v$：dimension of V，V矩阵的行维度，该值为输出向量的维度（超参数，需要自己调，一般取值和输入向量维度 $d$ 保持一致）。

上述公式中，$Q,K,V$是通过矩阵 $W^q,W^k,W^v$和输入向量 $I$ 计算出来的，而一般对于要训练的矩阵，代码中一般使用线性层来表示，详情可参考：Pytorch nn.Linear的基本用法，所以最终 $Q$ 矩阵的计算公式为：

$$ \begin{aligned} Q_{n \times d_k} = I_{n\times d} W^q_{d\times d_k} ~~~~~~~~(2) \end{aligned} $$

$K,V$ 矩阵同理。其中

• $d$：input_vector_dim: 输入向量的维度，例如你将单词编码为了10维的向量，则该值为10

有了公式(1)和(2)，就可以定义SelfAttention模型了，代码如下：

```python
class SelfAttention(nn.Module):
    def __init__(self, input_vector_dim: int, dim_k=None, dim_v=None):
        """
        初始化SelfAttention，包含如下关键参数：
        input_vector_dim: 输入向量的维度，对应上述公式中的d，例如你将单词编码为了10维的向量，则该值为10
        dim_k: 矩阵W^k和W^q的维度
        dim_v: 输出向量的维度，即b的维度，例如，经过Attention后的输出向量b，如果你想让他的维度为15，则该值为15，若不填，则取input_vector_dim
        """
        super(SelfAttention, self).__init__()

        self.input_vector_dim = input_vector_dim
        # 如果 dim_k 和 dim_v 为 None，则取输入向量的维度
        if dim_k is None:
            dim_k = input_vector_dim
        if dim_v is None:
            dim_v = input_vector_dim

        """
        实际写代码时，常用线性层来表示需要训练的矩阵，方便反向传播和参数更新
        """
        self.W_q = nn.Linear(input_vector_dim, dim_k, bias=False)
        self.W_k = nn.Linear(input_vector_dim, dim_k, bias=False)
        self.W_v = nn.Linear(input_vector_dim, dim_v, bias=False)

        # 这个是根号下d_k
        self._norm_fact = 1 / np.sqrt(dim_k)

    def forward(self, x):
        """
        进行前向传播：
        x: 输入向量，size为(batch_size, input_num, input_vector_dim)
        """
        # 通过W_q, W_k, W_v矩阵计算出，Q,K,V
        # Q,K,V矩阵的size为 (batch_size, input_num, output_vector_dim)
        Q = self.W_q(x)
        K = self.W_k(x)
        V = self.W_v(x)

        # permute用于变换矩阵的size中对应元素的位置，
        # 即，将K的size由(batch_size, input_num, output_vector_dim)，变为(batch_size, output_vector_dim，input_num)
        # 0,1,2 代表各个元素的下标，即变换前，batch_size所在的位置是0，input_num所在的位置是1
        K_T = K.permute(0, 2, 1)

        # bmm是batch matrix-matrix product，即对一批矩阵进行矩阵相乘
        # bmm详情参见：https://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.bmm.html
        atten = nn.Softmax(dim=-1)(torch.bmm(Q, K_T) * self._norm_fact）

        # 最后再乘以 V
        output = torch.bmm(atten, V)

        return output

```

接下来使用一下，定义50个为一批(batch_size=50)，输入向量维度为3， 一次输入5个向量，欲经过Attention层后，编码成5个4维的向量：

```python
model = SelfAttention(3, 5, 4)
model(torch.Tensor(50,5,3)).size()
```

torch.Size([50, 5, 4])

Attention模型一般作为整体模型的一部分，是套在其他模型中使用的，最经典的莫过于Transformer

二. MultiHead Attention 和 Masked Attention

MultiHead Attention 和 Masked Attention 请参考下篇MultiHead-Attention和Masked-Attention的机制和原理

---

参考资料

李宏毅Self-Attention: https://www.youtube.com/watch?v=hYdO9CscNes

超详细图解Self-Attention: https://zhuanlan.zhihu.com/p/410776234

Pytorch nn.Linear的基本用法：https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/122797190

极简翻译模型Demo，彻底理解Transformer：https://zhuanlan.zhihu.com/p/360343417

annotated-transformer：https://github.com/harvardnlp/annotated-transformer/