nn.Linear的基本定义

nn.Linear定义一个神经网络的线性层，方法签名如下：

```
torch.nn.Linear(in_features, # 输入的神经元个数
           out_features, # 输出神经元个数
           bias=True # 是否包含偏置
           )
```

Linear其实就是对输入 $X_{n \times i}$ 执行了一个线性变换，即：

$$ \begin{aligned} Y_{n \times o} = X_{n \times i}W_{i\times o} + b \end{aligned} $$

其中$W$是模型要学习的参数，$W$ 的维度为 $W_{i \times o}$ , $b$ 是o维的向量偏置，$n$ 为输入向量的行数（例如，你想一次输入10个样本，即batch_size为10，则$n=10$ ），$i$ 为输入神经元的个数（例如你的样本特征数为5，则 $i=5$ ），$o$ 为输出神经元的个数。

使用演示：

```python
from torch import nn
import torch

model = nn.Linear(2, 1) # 输入特征数为2，输出特征数为1
```

```python
input = torch.Tensor([1, 2]) # 给一个样本，该样本有2个特征（这两个特征的值分别为1和2）
output = model(input)
output
```

```
tensor([-1.4166], grad_fn=<AddBackward0>)
```

我们的输入为[1,2]，输出了[-1.4166]。可以查看模型参数验证一下上述的式子：

```python
# 查看模型参数
for param in model.parameters():
    print(param)
```

```
Parameter containing:
tensor([[ 0.1098, -0.5404]], requires_grad=True)
Parameter containing:
tensor([-0.4456], requires_grad=True)
```

可以看到，模型有3个参数，分别为两个权重和一个偏执。计算可得：

$$ \begin{aligned} y = [1, 2] * [0.1098, -0.5404]^T - 0.4456 = -1.4166 \end{aligned} $$

实战

假设我们的一次输入三个样本A,B,C（即batch_size为3），每个样本的特征数量为5：

```
A: [0.1,0.2,0.3,0.3,0.3]
B: [0.4,0.5,0.6,0.6,0.6]
C: [0.7,0.8,0.9,0.9,0.9]
```

则我们的输入向量 $X_{3\times 5}$ 为：

```python
X = torch.Tensor([
    [0.1,0.2,0.3,0.3,0.3],
    [0.4,0.5,0.6,0.6,0.6],
    [0.7,0.8,0.9,0.9,0.9],
])
X
```

```
tensor([[0.1000, 0.2000, 0.3000, 0.3000, 0.3000],
        [0.4000, 0.5000, 0.6000, 0.6000, 0.6000],
        [0.7000, 0.8000, 0.9000, 0.9000, 0.9000]])
```

定义线性层，我们的输入特征为5，所以in_feature=5，我们想让下一层的神经元个数为10，所以out_feature=10，则模型参数为：$W_{5\times 10}$

```python
model = nn.Linear(in_features=5, out_features=10, bias=True)
```

经过线性层，其实就是做了一件事，即：$$\begin{aligned}Y_{3\times 10}=X_{3\times 5}W_{5\times 10} + b\end{aligned}$$

具体表示则为： $$ \begin{bmatrix} Y_{00} & Y_{01} & \cdots & Y_{08} & Y_{09} \\ Y_{10} & Y_{11} & \cdots & Y_{18} & Y_{19} \\ Y_{20} & Y_{21} & \cdots & Y_{28} & Y_{29} \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} X_{00} & X_{01} & X_{02} & X_{03} & X_{04} \\ X_{10} & X_{11} & X_{12} & X_{13} & X_{14} \\ X_{20} & X_{21} & X_{22} & X_{23} & X_{24} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} W_{00} & W_{01} & \cdots & W_{08} & W_{09} \\ W_{10} & W_{11} & \cdots & W_{18} & W_{19} \\ W_{20} & W_{21} & \cdots & W_{28} & W_{29} \\ W_{30} & W_{31} & \cdots & W_{38} & W_{39} \\ W_{40} & W_{41} & \cdots & W_{48} & W_{49} \\ \end{bmatrix} + b $$

其中 $X_{i\cdot}$就表示第$i$个样本，$W_{\cdot j}$ 表示所有输入神经元到第$j$个输出神经元的权重。

注意：这里图有点问题，应该是$W_{00}, W_{01}, W_{02}, ..., W_{07}, W_{08}, W_{09}$

因为有三个样本，所以相当于依次进行了三次 $Y_{1\times 10} = X_{1\times 5}W_{5\times 10}$，然后再将三个 $Y_{1\times 10}$ 叠在一起

经过线性层后，我们最终的到了$3 \times 10$维的矩阵，即 输入3个样本，每个样本维度为5，输出为3个样本，将每个样本扩展成了10维

```python
model(X).size()
```

```
torch.Size([3, 10])
```

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参考资料

• nn.Linear官方文档：https://pytorch.org/docs/stable/generated/torch.nn.Linear.html