直观的感受一下范数

先直观的感受一下二维空间的范数，假设在二维空间的向量为 $\mathbf{v}=(x,y)$

则v的1范数为：

$$\begin{array}{r}||\mathbf{v}|{|}_1=||(x,y)|{|}_1=|x|+|y|=(|x{|}^1+|y{|}^1{)}^{\frac{1}{1}}\end{array}$$

v的2范数为：

$$\begin{array}{r}||\mathbf{v}|{|}_2=||(x,y)|{|}_2=\sqrt{|x{|}^2+|y{|}^2}=(|x{|}^2+|y{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}\end{array}$$

v的3范数为：

$$\begin{array}{r}||\mathbf{v}|{|}_3=||(x,y)|{|}_3=\sqrt[3]{|x{|}^3+|y{|}^3}=(|x{|}^3+|y{|}^3{)}^{\frac{1}{3}}\end{array}$$

推广后，得v的p范数为：

$$\begin{array}{r}||\mathbf{v}|{|}_p=||(x,y)|{|}_p=\sqrt[p]{|x{|}^p+|y{|}^p}=(|x{|}^p+|y{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}\end{array}$$

当 $p=\mathrm{\infty }$ 时，有些区别，v的无穷范数为：

$$\begin{array}{r}||\mathbf{v}|{|}_{\mathrm{\infty }}=||(x,y)|{|}_{\mathrm{\infty }}=max(|x|,|y|)\end{array}$$

为无穷范数时，是从x,y的绝对值中挑出一个大的

范数的定义

感受过二维向量的范数后，将其扩展到n维向量后，向量$x$的范数为：

向量$x$的1范数：

$$\begin{array}{r}||x|{|}_1=\sum _{i=1}^n|x_i|\end{array}$$

向量$x$的2范数： $$\begin{array}{r}||x|{|}_2=(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}\end{array}$$

向量$x$的p范数： $$\begin{array}{r}||x|{|}_p=(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}1\le p<\mathrm{\infty }\end{array}$$

注意p的范围：①p不能等于无穷，对于无穷范数有额外的定义；②p可以是小数

向量$x$的无穷范数：

$$\begin{array}{r}\Vert x{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le i\le n}{max}\left|x_i\right|\end{array}$$

直观的感受下范数的边界图像

定义范数后，可以直观的感受下二维范数的边界图像，即 $\Vert (x,y){\Vert }_p\le 1$ 的函数图像。

1范数时的边界图像（$|x|+|y|=1$ 的图像）为：

菱形边界是函数 $|x|+|y|=1$ 函数图像，菱形内部满足 $|x|+|y|<1$。其他范数同理

2范数时的边界图像（$\sqrt{|x{|}^2+|y{|}^2}=1$ 的图像）为：

可以通过GeoGebra p-norm ball，自己感受下不同范数下的边界图像

通过感受不同范数的图像最终可以发现如下图所示的规律，即范数越大，图像越方。同时容易明白，为什么二维无穷范数的定义是 $max(|x|,|y|)$

对于三维空间，那就是遵循下图的变化：

范数的性质

1. 正定型： $\Vert x\Vert \ge 0$ ，当且仅当 $x=0$时，$\Vert x\Vert =0$
2. 齐次性：$\Vert \lambda x\Vert =|\lambda |\Vert x\Vert$, 其中 $\lambda \in R$
3. 三角不等式：$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert ,\mathrm{\forall }x,y\in C^n$
4. $\Vert 0\Vert =0$
5. 当 $x\ne 0$ 时，$\Vert \frac{1}{\Vert x\Vert }x\Vert =1$
6. 对任意的 $x\in C^n$，有 $\Vert -x\Vert =\Vert x\Vert$
7. 对任意的 $x,y\in C^n$，有 $|\Vert x\Vert -\Vert y\Vert |\le \Vert x-y\Vert$

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参考资料

GeoGebra p-norm ball：https://www.geogebra.org/m/pyxfvyyk

第八课：向量的范数：https://zhuanlan.zhihu.com/p/30279795