条件概率,乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的解释(概率论)
条件概率
公式:
设A, B为任意两个事件,若P(A)>0,我们称在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率为条件概率,记为
解释:
以投骰子游戏为例,设事件
则“当事件
所以,要先求出AB的交集,
所以
乘法公式
公式:
如果
注:
先于 发生时用此公式
解释:
将条件概率公式的分母
全概率公式
公式:
如果
解释:
已知有很多事件
假设,现在我们想派 张三、李四、王五
三个中的其中一个去偷东西,他们被委派的概率分别是:
在该样例中,事件
人物 | 张三 | 李四 | 王五 |
---|---|---|---|
被委派事件 | |||
被委派的概率 | |||
被指派且偷窃成功的事件 | |||
偷窃成功的概率 |
那么,偷成功的概率则为:
贝叶斯公式(逆概公式)
公式:
如果
解释:
贝叶斯公式是全概率公式的逆公式,意思为:现在已知B事件已经发生了,找出是由哪个
还是用上面的例子。现在东西已经被偷了,我想知道“是张三干、是李四干的、是王五干的”这三个事件的概率。
人物 | 张三 | 李四 | 王五 |
---|---|---|---|
被委派事件 | |||
被委派的概率 | |||
被指派且偷窃成功的事件 | |||
偷窃成功的概率 | |||
东西已经被偷,是谁干的事件的概率 |
将
从上面的计算不难看出,贝叶斯公式的分母就是全概率公式的结果,即东西被偷成功的概率;而分子则是此人所占的比重,即此人被派去偷且偷成功的概率
参考资料
- 张宇概率论9讲
- 张宇概率论基础班