条件概率

公式：

设A, B为任意两个事件，若P(A)>0，我们称在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率为条件概率，记为 $P(B|A)$，并定义： $$ \begin{aligned} P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} ~~~~~~~~~~(P(A)>0) \end{aligned}$$

解释：

以投骰子游戏为例，设事件 $A={1,2,3,4,5}$，事件 $B={1,2,3,6}$

则“当事件 $A$ 发生的前提下，事件B发生的概率”意思为：现在知道投出的点数为A中的其中一个，那么有多少概率该点数也是B中的一个呢？

所以，要先求出AB的交集，$AB={ 1,2,3 }$ 。如果投掷的点数在 $AB$ 中，那么$B$事件就也发生了

所以 $$\begin{aligned}P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{3}{5}\end{aligned}$$

乘法公式

公式：

如果 $P(A)>0$ ，则 $$ \begin{aligned} P(AB) = P(A)P(B|A) \end{aligned}$$ 一般地，如果 $P(A_1\cdots A_{n-1})>0$ ，则 $$ \begin{aligned} P(A_1A_2\cdots A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1\cdots A_{n-1}) \end{aligned}$$

注： $A_i$ 先于 $A_{i+1}$ 发生时用此公式

解释：

将条件概率公式的分母 $P(A)$ 挪过去，就得到了该公式

全概率公式

公式：

如果 $\bigcup_{i=1}^n A_i = \Omega$ ， $A_i A_j = \varnothing~(i\neq j)$ ， $P(A_i)>0$ ， 则对任一事件 $B$ ,有 $$ \begin{aligned} B = \bigcup_{i=1}^{n} A_i B \\\\ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) P(B|A_i) \end{aligned}$$

解释：

已知有很多事件 $A_i$，每个事件的发生都会影响B事件的发生（影响可能是0），那么 B 事件的发生概率就是 $P(B)$。

假设，现在我们想派 张三、李四、王五 三个中的其中一个去偷东西，他们被委派的概率分别是：$\frac{1}{10}、\frac{3}{10}、\frac{6}{10}$。而他们偷窃成功的概率分别是 $0、\frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ 。 那么，现在问，东西被偷成功的概率是多少？

在该样例中，事件$B$ 为“东西被偷成功”，事件$A_1$为“派张三去偷”，依次类推；则 $P(B|A_1)$ 为“派张三去偷的前提下，偷成功的概率”，依次类推。我们将其总结成以下表格

人物	张三	李四	王五
被委派事件	$A_1$	$A_2$	$A_3$
被委派的概率	$P(A_1)=\frac{1}{10}$	$P(A_2)=\frac{3}{10}$	$P(A_3)=\frac{6}{10}$
被指派且偷窃成功的事件	$A_1B$	$A_2B$	$A_3B$
偷窃成功的概率	$P(B∣A_1)=0$	$P(B∣A_2)=\frac{1}{3}$	$P(B∣A_3)=\frac{1}{2}$

那么，偷成功的概率则为： $$ \begin{aligned} P(B) = \sum_{i=1}^{3} P(A_i) P(B|A_i) = \frac{1}{10} \times 0+ \frac{3}{10} \times \frac{1}{3} + \frac{6}{10} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5} \end{aligned}$$

贝叶斯公式（逆概公式）

公式：

如果 $\bigcup_{i=1}^n A_i = \Omega$ ， $A_i A_j = \varnothing~(i\neq j)$ ， $P(A_i)>0$ ， 则对任一事件 $B$ , 只要 $P(B)>0$ ，就有： $$ \begin{aligned} P(A_j | B) = \frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i) P(B|A_i)} ~~~~~~~~(j=1,2,\cdots,n) \end{aligned}$$

解释：

贝叶斯公式是全概率公式的逆公式，意思为：现在已知B事件已经发生了，找出是由哪个 $A_j$ 引起的。

还是用上面的例子。现在东西已经被偷了，我想知道“是张三干、是李四干的、是王五干的”这三个事件的概率。

人物	张三	李四	王五
被委派事件	$A_1$	$A_2$	$A_3$
被委派的概率	$P(A_1)=\frac{1}{10}$	$P(A_2)=\frac{3}{10}$	$P(A_3)=\frac{6}{10}$
被指派且偷窃成功的事件	$A_1B$	$A_2B$	$A_3B$
偷窃成功的概率	$P(B∣A_1)=0$	$P(B∣A_2)=\frac{1}{3}$	$P(B∣A_3)=\frac{1}{2}$
东西已经被偷，是谁干的事件的概率	$P(A_1∣B)$	$P(A_2∣B)$	$P(A_3∣B)$

将 $P(A_jB)$ 求得，分别是： \begin{aligned} P(A_1 | B) &= \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i) P(B|A_i)} = \frac{\frac{1}{10}\times 0}{2/5} = 0 \\\\ P(A_2 | B) &= \frac{P(A_2)P(B|A_2)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i) P(B|A_i)} = \frac{\frac{3}{10}\times \frac{1}{3}}{2/5} = \frac{1}{4} \\\\ P(A_2 | B) &= \frac{P(A_3)P(B|A_3)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i) P(B|A_i)} = \frac{\frac{6}{10}\times \frac{1}{2}}{2/5} = \frac{3}{4} \\\\ \end{aligned}

从上面的计算不难看出，贝叶斯公式的分母就是全概率公式的结果，即东西被偷成功的概率；而分子则是此人所占的比重，即此人被派去偷且偷成功的概率

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参考资料

• 张宇概率论9讲
• 张宇概率论基础班