条件概率,乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的解释(概率论)

 


条件概率

公式

设A, B为任意两个事件,若P(A)>0,我们称在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率为条件概率,记为 P(B|A),并定义: P(B|A)=P(AB)P(A)          (P(A)>0)

解释:

投骰子游戏为例,设事件 A=1,2,3,4,5,事件 B=1,2,3,6

则“当事件 A 发生的前提下,事件B发生的概率”意思为:现在知道投出的点数为A中的其中一个,那么有多少概率该点数也是B中的一个呢?

所以,要先求出AB的交集,AB=1,2,3 。如果投掷的点数在 AB 中,那么B事件就也发生了

所以 P(B|A)=P(AB)P(A)=35

乘法公式

公式

如果 P(A)>0 ,则 P(AB)=P(A)P(B|A) 一般地,如果 P(A1An1)>0 ,则 P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1An1)

注: Ai 先于 Ai+1 发生时用此公式

解释:

条件概率公式的分母 P(A) 挪过去,就得到了该公式

全概率公式

公式

如果 i=1nAi=ΩAiAj= (ij)P(Ai)>0 , 则对任一事件 B ,有 B=i=1nAiBP(B)=i=1nP(Ai)P(B|Ai)

解释:

已知有很多事件 Ai,每个事件的发生都会影响B事件的发生(影响可能是0),那么 B 事件的发生概率就是 P(B)

假设,现在我们想派 张三、李四、王五 三个中的其中一个去偷东西,他们被委派的概率分别是:110310610。而他们偷窃成功的概率分别是 013,12 。 那么,现在问,东西被偷成功的概率是多少?

在该样例中,事件B 为“东西被偷成功”,事件A1为“派张三去偷”,依次类推;则 P(B|A1) 为“派张三去偷的前提下,偷成功的概率”,依次类推。我们将其总结成以下表格

人物 张三 李四 王五
被委派事件 A1 A2 A3
被委派的概率 P(A1)=110 P(A2)=310 P(A3)=610
被指派且偷窃成功的事件 A1B A2B A3B
偷窃成功的概率 P(BA1)=0 P(BA2)=13 P(BA3)=12

那么,偷成功的概率则为: P(B)=i=13P(Ai)P(B|Ai)=110×0+310×13+610×12=25

贝叶斯公式(逆概公式)

公式

如果 i=1nAi=ΩAiAj= (ij)P(Ai)>0 , 则对任一事件 B , 只要 P(B)>0 ,就有: P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)i=1nP(Ai)P(B|Ai)        (j=1,2,,n)

解释

贝叶斯公式是全概率公式的逆公式,意思为:现在已知B事件已经发生了,找出是由哪个 Aj 引起的。

还是用上面的例子。现在东西已经被偷了,我想知道“是张三干、是李四干的、是王五干的”这三个事件的概率。

人物 张三 李四 王五
被委派事件 A1 A2 A3
被委派的概率 P(A1)=110 P(A2)=310 P(A3)=610
被指派且偷窃成功的事件 A1B A2B A3B
偷窃成功的概率 P(BA1)=0 P(BA2)=13 P(BA3)=12
东西已经被偷,是谁干的事件的概率 P(A1B) P(A2B) P(A3B)

P(AjB) 求得,分别是: P(A1|B)=P(A1)P(B|A1)i=1nP(Ai)P(B|Ai)=110×02/5=0P(A2|B)=P(A2)P(B|A2)i=1nP(Ai)P(B|Ai)=310×132/5=14P(A2|B)=P(A3)P(B|A3)i=1nP(Ai)P(B|Ai)=610×122/5=34

从上面的计算不难看出,贝叶斯公式的分母就是全概率公式的结果,即东西被偷成功的概率;而分子则是此人所占的比重,即此人被派去偷且偷成功的概率





参考资料

  • 张宇概率论9讲
  • 张宇概率论基础班
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